从“一道怪题”谈“无关”型问题

在美国有一道叫做“国王是个小气鬼”的怪题：蓬蓬国王为了获得贫穷老百姓的支持，图一个“乐善好施”的好名声，决定施舍每个男人1美元，每个女人40美分(1美元等于100美分)，但他又不想太破费．于是，这位陛下盘算来盘算去，最后想出了一个妙法，决定将他的直升飞机在正午12时在一个贫困的山村着陆．因为他十分清楚，在那个时候，村庄里有60%的男人都外出打猎去了．该村庄共有成年人口3085人，儿童忽略不计，女性比男性多．请问，这位“精打细算”的国王要施舍掉多少钱？

 

山村里究竟有多少男人，多少女人，题目没有说明，条件残缺不全，这道题能做吗？

 

假定村庄里有1000个男人，因为60%的人都打猎去了，所以国王只能碰到400个男人，再加上料理家务的2085个女人，所以国王要施舍的钱，应当是1×400+0.4×2085=400+834=1234(美元)．如果村庄里只有500个男人，那么国王能碰到的男人只有500×(1-0.6)=200(人)，他的开销应是1×200+0.4×2585=1234(美元)．假设这个村庄里一个男人也没有，国王碰到的全是女人，他的施舍支出竟然还是1234美元！三种情况下所得答数竟然完全一样！

 

这真是一道怪题！试试看用所学的整式知识能不能揭穿这道题的怪异之处．设村庄里有男人x人，那么女人有(3085-x)人，国王施舍的钱数为：(1-0.6)x+0.4(3085-x)=0.4x+1234-0.4x=1234(美元)．原来国王施舍的钱数与村庄里的男人数无关！

 

上面的怪题实际是一道“无关”型问题．所谓“无关”型问题，就是某一整式的值与其所含字母或部分字母无关的问题，处理这类“无关”型的问题时，只要能灵活运用整式加减的运算法则，就能使问题正确获解．下面举例说明：

 

一、求值型

 

例1  已知：A=2x²+3xy-2x-1，B=-x²+xy-1，且3A+6B的值与x无关，求y的值．

 

解：因为3A+6B=3(2x²+3xy-2x-1)+6(-x²+xy-1)=15xy-6x-9=(15y-6)x-9．

 

而3A+6B的值与x无关，所以15y-6=0，即y=0.4．

 

说明：如果已知式子与某个字母的取值无关，那么这个字母的系数为0，从而列出方程求解．

 

二、说理型

 

例2  有这样一道数学题目“当a=2，b=-2时，求多项式3a³b³-a²b+b-(4a³b³-a²b-b²)+(a³b³+a²b)-2b²+3的值”，甲同学做题时把a=2抄错成a=-2，乙同学没抄错题，但他们得出的结果恰好一样，请问这是怎么回事儿？

 

解：因为3a³b³-a²b+b-(4a³b³-a²b-b²)+(a³b³+a²b)-2b²+3

 

=3a³b³-a²b+b-4a³b³+a²b+b²+a³b³+a²b-2b²+3=-b²+b+3，

 

可见含字母a的项都已消去，即这个多项式的值与a的取值无关．

 

所以甲同学做题时把a=2抄错成a=-2，不会影响计算结果．

 

事实上，无论甲同学把a错抄成什么数，都不会影响计算结果．

 

说明：这种抄错数字又使结果正确的问题，通常情况下都说明原式的化简结果与这个字母的取值无关，或与抄错的数字符号无关(例设原式的化简结果是一个仅含有a²的式子)等等．

 

三、应用型

 

例3  “蓝星电脑”店有A型电脑和B型电脑共120台，A型电脑每台4000元，B型电脑每台2520元．我市东坡中学购买了全部B型电脑和部分A型电脑．经过核算后发现应付款的总数与A型电脑的数目无关．则购买部分A型电脑数是A型电脑总数的百分之几？各买了多少台？

 

解：“蓝星电脑”店有A型电脑x台，则有B型电脑(120-x)台，东坡中学购买了A型电脑的a%，则应付总款为：4000··x+2520(120-x)

 

化简，得302400+(40a-2520)x．

 

∵总付款与x无关，即x的系数应为0，

 

所以40a-2520=0，解得a=63，即东坡中学购买了A型电脑总数的63%．

 

因为63% x为整数且0＜x＜120，所以x=100，63%x=63%×100=63．

 

120-x=120-100=20．

 

所以东坡中学购买了A型电脑的63%，A型电脑共有100台买了63台，B型电脑买了20台．

 

说明：本题是一道“总值”与“某个量”无关的问题，与“某量”无关，设“某量”为，合并同类项以后这个字母x的系数必为0．

 

练习：1．如果关于字母x的二次多项式-3x²+mx+nx²-x+3的值与x的取值无关，则m=___，n=___．

 

2．在解题目“当x=0.28，y=36时，求6(x²-xy+2y²)-3(2x²-2xy-1)-12y²+2008的值”时，聪聪认为x，y只要任取一对值，原式都有相同的结果．你认为他说的有道理吗？请说明理由．

 

3．为了鼓励在“我为玉树献爱心”的演讲比赛中获奖的同学，学校购买了甲、乙两种钢笔共35支，其中甲种钢笔每支24元，乙种钢笔每支10.20元，为了奖励各类竞赛的获胜者，把全部乙种钢笔和若干支甲种钢笔作为奖品发给学生，若发给学生奖品的钱数与学校购买的甲种钢笔总数目无关，那么甲、乙两种钢笔各买了多少支？实发了多少支？

 

答案：

 

1．m=1，n=3．

 

2．聪聪的说法有道理．原式的化简结果为2010，与x，y的取值无关，因此x，y只要任取一对值，原式的结果都相同．

 

3．甲种钢笔买了20支，实发了17支，乙种钢笔买了15支，实发了15支．