电影中的数学3

时间:2013年09月13日来源:shuxue2013.com作者:数学资源网点击:次

3D画面数学家汉密尔顿(Sir William Rowan Hamilton)可能是都柏林三一学院(Trinity College Dublin)最有名的校友。他在人生的最后二十年一直致力于找到一个类似二维空间里的复数那样的数来表示三维空间的旋转。 Hami

3D画面

数学家汉密尔顿(Sir William Rowan Hamilton)可能是都柏林三一学院(Trinity College Dublin)最有名的校友。他在人生的最后二十年一直致力于找到一个类似二维空间里的复数那样的数来表示三维空间的旋转。

Hamilton产生四元数灵感时经过的Broome桥上的纪念牌匾

在他人生的最后时刻，汉密尔顿找到了答案。他把这些数命名为四元数，其表达式是

q=a0+a1i+a2j+a3k,

其中i2=j2=k2=−1,而a0,a1,a2和a3都是实数。

正如我们对复数的讨论一样，我们可以用几何来解释四元数并用他们来描述旋转。但这时我们考虑的是三维空间里的旋转。

具体来说，我们用i,j,k来表示三维空间的基本平面：即i表示yz平面，j表示xz平面，k表示xy平面，它们各自的外部法向分别是x,y,z。

几何上,i,j,k用来分别表示三维空间的三个基本平面

如果我们想将点a=(a1,a2,a3)沿着一个旋转轴（方向由b=(b1,b2,b3)给出）绕原点旋转β度。我们先用旋转轴向量b和旋转角度β构造两个四元数q1和q2：

q1=cos(β/2)+sin(β/2)(b1i+b2j+b3k),q2=cos(β/2)−sin(β/2)(b1i+b2j+b3k).

然后，我们用这两个四元数去乘一个数a。注意a表示为x,y,z三个坐标轴的单位向量的组合，而乘法遵从适用于平面i,j,k以及单位向量的特殊准则。这样我们得到

a′=q1aq2。

可以验证，a′这个点就是将a这个点绕着给点转轴旋转β角度而得到的点。因此，正如二维空间里的旋转可以用复数来表示一样，我们可以用四元数来表示三维空间里的旋转。

汉密尔顿这一在都柏林的一座桥下散步时产生的灵感，成为刻画三维空间里旋转的最有效的工具。但是也有人不喜欢他定义的这个新乘法。物理学家Lord Kelvin就曾经这样评价四元数“虽然十分巧妙，但对任何接触过它的人而言都绝对是一个祸患！”

从实用角度看，有人觉得四元数的一个不方便之处是两个四元数相乘，其结果取决于二者相乘的次序，也即四元数乘法的不可交换性。举例来说，根据Hamilton的准则，我们可以得到ij=k以及ji=-k。可是，如果我们将i,j,k看成是基本平面，那些令开尔文(Lord Kelvin)和他同时代的人所担心的四元数的性质是显而易见成立的。

·电影中的数学32013-09-13

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