高次方程数值解法和天元术

　　贾宪接着提出了“增乘方求廉法”，又称作“释锁求廉本源”，先依开方次数，列出位数（隅算在外），以隅算1自下增人前位，到首位为止，再自下重复刚才的程序，每次低一位为止。如求开六次方的各廉，到五位，程序如下：

　　因此，6，15，20，15，6便是六次方各廉。

　　贾宪三角对朱元数学得以达到当时世界数学高峰，起了重大作用。元代朱世杰用两组分别平行于两邪的平行线把各廉联结起来，为高阶等差级数求和问题和蒿次招差术的发展，提供了有力的数学工具。同时，求贾宪三角的各廉的增乘方法的基本步骤，还可以用来直接进行开方，开辟了高次方程数值解法的新途径，这就是下面就要谈到的增乘开方法。贾宪三角对后世也有很大影响，明清许多重要数学著作都引用了它。　　

　　增乘开方法　　

　　在现代计算数学中求代数方程的数值解的时候，流行着一种极其简便的方法——秦九韶程序，这就是我国宋代的增乘开方法，它是由北宋贾宪首先提出、而由十三世纪上半叶南宋的秦九韶最后完成的。在欧洲，直到1819年英国人霍纳才创造了类似的方法，比秦九韶晚五百七十二年，而比贾宪晚了七百多年。

　　增乘开方法的产生把我国的高次方程数值解法推进到一个新的阶段。

　　显然，这个方法比原来的开方法程序整齐，运算简捷，不仅很容易推广到任意高次幂的开方，也可以推广到求解任意高次方程的数值解。事实上，减根后的方程（5）就是一个不仅含有X的最高次幂、也含有其他次幂的方程。杨辉引用的贾宪的著作中就有开四次方的例题。

　　的两类方程（其中a＞0，b＞0），并且创造了“益积术”和“减从术”解决这两类方程。这两种方法都不是增乘开方法，但是其中“减从术”比较接近增乘开方法，可以看作用增乘开方法解决负方、益隅两种类型方程这个认识长河中最初的两环。事实上，《议古根源》中有一个用增乘开方法求益隅四次方程正根的例题，开创了用增乘开方法求任何数字方程正根的先河。一百年后，秦九韶在《数书九章》中把高次方程求正根的增乘开方法发展到了十分完备的程度。

　　秦九韶以前的数学家认为“实”是已知量，当然是正数，相当于常数项在等式的右端。秦九韶认为“实”最好和未知数放在一起，正负相消，组成开方式，这样可以把增乘开方的随乘随加贯彻到底，因此他规定“实常为负”。这样的开方式相当于方程

　　天元术　　

　　随着求高次方程正根的增乘开方法日臻完备，列方程的方法——天元术也逐步发展起来。设未知数列方程，今天对具备初等数学知识的人来说是轻牟熟路，然而在天元术产生以前却非同小可。唐初大数学家王孝通为了列某些三次方程，只好借助于文字，他的思维过程和叙述形式非常复杂。随着要解决的高次方程越来越多，高次方程的造法也越来越难，创造一种简捷的列方程的方法成为人们的迫切需要。在北宋数学家把增乘开方法推广到开任意高次方之后，天元术的诞生就成为我国数学发展的必然结果。据记载，金元时期的北方，有许多天元术著作，可惜它们大都和贾宪的《黄帝九章算经细草》、刘益的《议古根源》一样亡佚了。现存的只有李冶的《测圆海镜》（公元1248年）、《益古演段》（公元1259年）和朱世杰的《算学启蒙》（公元1299年）、《四元玉鉴》（公元1303年）等著作。

　　用天元术列方程的方法是：首先“立天元一为某棠”，就是现在的设未知数x，然后依据问题的条件列出两个相等的天元式（就是含这个天元的多项式），把这两个天元式相减，就得到一个天元式，就是高次方程式。最后用增乘开方法求这个方程的正根。显然，天元术和现今代数方程的列法雷同，而在欧洲，只是在十六世纪才开始做到这一点。

　　天元术是金、元数学家独立创造的。我国古代的开方筹式给天元式提供了一个现实的原型。然而实现科学地表达天元式这一飞跃，要经过一个复杂曲折的过程。起初，人们用“天、上、……仙”九个字分别表示未知数的正幂，用“地、下、……鬼”九个字表示负幂，用“人”表示常数项。以后经过简化，用“天元”、“地元”分别表示未知数的正幂和负幂，用“太”表示常数项。李冶进一步加以改进，取消“地元”，只用一个天元表示未知数。他在《测圆海镜》中采用正幂在上、常数和负幂在下的古法，后来在《益古演段》中又颠倒过来，这样就使天元式和传统的开方式相一致。在进行天元式运算的时候，李冶有时在一次幂系数的右旁记一“元”字，有时在常数右旁记一“太”字；系数是负数的，在系数的个位数码上加一斜划。李冶的开方式中，没有“实常为负”的规定，而是可正可负。以后的朱世杰、郭守敬等人沿用了李冶的表示法。如多项式

　　可以记为　　

　　从李冶的著作中，我们可以看出，十二世纪上半叶人们已经熟练地掌握了多项式的加、减、乘、除（只限于用x的整数幂来除）。而表示方程的天元式都是有理整式。否则，用乘方消去根号，用通分化成整式，再求解。　　

四元术

　　我国早在两汉时期就能解一次联立方程组，《九章算术》中称作“方程术”。把天元术的原理应用于联立方程组，先后产生了二元术、三元术和四元术。这是十三世纪中到十四世纪初我国宋元时期数学家又一辉煌成就。现有传本的朱世杰的《四元玉鉴》就是一部杰出的四元术著作。

　　所谓四元术，就是用天、地、人、物四元表示四元高次方程组。列式的方法是：在常数右侧记一“太”字，天、地、人、物四元和它们的乘幂的系数分别列于“太”字的下、左、右、上，相邻两未知数和它们的乘幂的积的系数记人相应的两行相交的位置上，不相邻的几个未知数的积的系数记人相应的夹缝中。我们用x、y、z、u分别表示天、地、人、物四元，那么它们在四元式中的位置如下图所示：

　　如方程组

　　这实际上是多元高次方程组的分离系数表示法。　　

(1)式 (2)式 (3)式

　　四元术用四元消元法解题，把四元四式消去一元变成三元三式，再消去一元变成二元二式，再消去一元，就得到一个只含一元的天元开方式，然后用增乘开方法求正根。这和今天解方程组的方法基本一致。在欧洲，直到十八世纪法国数学家贝佐（公元1775年）才系统叙述了高次方程组消元法问题。

　　我国古代的数学家不止一次地攀登上当时世界数学发展的高峰，对于方程的研究作出了当时无与伦比的成就，为世界数学史和文明史作出了伟大的贡献。这是中华民族的骄傲。当然，任何事物都是可以一分为二的。我国古代对方程的研究往往局限于解决实际问题，不重视基础理论特别是方程性质的研究，因此，也存在不容忽视的缺点。比如，尽管我国负数的发现和应用是最早的，可是解方程却一直局限于求正根，对负根从未考虑；对于方程根的个数和次数的关系，根和系数的关系，从未讨论，甚至《议古根源》中相邻两个问题的答案刚好就是同一个二次方程的两个根，可是刘益和杨辉都没有指出这一点；四元术对于超过四元的方程组就没法应用；等等。这些问题要求贾宪、刘益、秦九韶、李冶、朱世杰等人当时就解决，是苛求于古人，但是它有可能在进一步发展中解决。然而，由于腐朽没落的封建制度的阻碍，宋元优秀的数学成就在这之后不仅没有发展，反而长期失传，加上帝国主义的侵略，现代科学也没有能在我国产生。直到十八世纪末十九世纪初，焦循（1763—1820）、汪莱（1768—1813）、李锐、罗士琳（1789—1853）等人才重新研究这些问题。汪莱、李锐提出了根和系数的判别法：当方程系数有一次变号的时候，可以有一个正根；有二次变号的时候，有两个正根；有三次变号的时候，有三个或一个正根；有四次变号的时候，有四个或两个正根。这和所谓“笛卡儿符号法则”（公元1637年）是相同的。李锐还发现方程有负根有重根。但是得到上述结果在时间上比欧洲人要晚。