稀少而有趣的完美数
时间:2013年03月09日来源:本站原创作者:admin点击:次
稀少而有趣的完美数
已知自然数a和b，如果b能够整除a，就说b是a的一个因数，也称为约数。显然，任何自然数a，总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。
例如6，12，14这三个数的所有真因数：
6: 1, 2, 3; 1 + 2 + 3 = 6
12: 1, 2, 3, 4, 6; 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12
14: 1, 2, 7; 1 + 2 + 7 = 10 < 14
像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数(不足数)；大于真因数之和的(如14)叫做盈数或过剩数；恰好相等的(如6)叫做完全数，也称为完美数。
古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年，尼哥马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》，其中写道：“也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；所以盈数和亏数非常之多，而且紊乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章……，它们具有一致的特性；尾数都是6或8，而且永远是偶数。”
现在数学家已发现，完全数非常稀少，至今人们只发现29个，而且都是偶完全数。前5个分别是：6，28，496，8128，33550336。
完全数有许多有趣的性质，例如：
1. 它们都能写成连续自然数之和：
6=1+2+3, 28=1+2+3+4+5+6+7, 496=1+2+3+4+……+31, 8128=1+2+3+4+……+127；
2. 它们的全部因数的倒数之和都是2。
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2
1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2
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