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奥数牛吃草问题的4个基本公式及经典题型

时间:2017年11月24日来源:shuxue2013.com作者:数学资源网点击:
奥数牛吃草问题的4个基本公式及经典题型

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。牛吃草问题是小学奥数中的经典奥数题型之一,也是小学奥数考试中经常会涉及到的考点。

在小学这类问题常用到四个基本公式,分别是:

(1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;

(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变,设为"1",解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题所求的问题。

小学奥数牛吃草问题:例1

一片牧场南面一块15公顷的牧场上长满牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供12头牛吃25天,或者供24头牛吃10天。在牧场的西侧有一块60公顷的牧场,20天中可供多少头牛吃草?

【解析】

设1头牛1天的吃草量为"1",摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析

12头牛 25天 12×25=300 :

原有草量+25天自然减少的草量

24头牛 10天 24×10=240 :

原有草量+10天自然减少的草量

从上易发现:15公顷的牧场上25-10=15天生长草量=300-240=60,即1天生长草量=60÷15=4;

那么15公顷的牧场上原有草量:300-25×4=200;

则60公顷的牧场1天生长草量=4×(60÷15)=16;原有草量:200×(60÷15)=800.

20天里,草场共提供草800+16×20=1120,可以让1120÷20=56(头)牛吃20天。

小学奥数牛吃草问题:例2

一片均匀生长的草地,可以供18头牛吃40天,或者供12头牛与36只羊吃25天,如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量。请问:这片草地让17头牛与多少只羊一起吃,刚好16天吃完?

【解析】

设每头牛每天吃草1份,把36只羊转化为牛的头数为:

36÷3=12(头)

草每天生长的份数:

18×40-24×25)÷(40-25)

=120÷15

=8(份)

草地原有的草的份数:

(18-8)×40=400(份)

16天吃完,需要牛的头数是:

(400+8×16)÷16=33(头)

(33-17)×3

=16×3

=48(只)

答:这片草地让17头牛与48只羊一起吃,刚好16天吃完.

小学奥数牛吃草问题:例3

牧场上有一片牧草,可供27头牛吃6周,或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长,可供21头牛吃几周?

【解析】

27×6=16223×9=207

207-162=45

45/(9-6)=15

每周生长数

162-15×6=72(原有量)

72/(21-15)=12周

小学奥数牛吃草问题:例4

牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天。问:可供25头牛吃几天?

【解析】

设1头牛一天吃的草为1份。那么,10头牛20天吃200份,草被吃完;15头牛10天吃150份,草也被吃完。前者的总草量是200份,后者的总草量是150份,前者是原有的草加 20天新长出的草,后者是原有的草加10天新长出的草。

200-150=50(份),20-10=10(天),

说明牧场10天长草50份,1天长草5份。也就是说,5头牛专吃新长出来的草刚好吃完,5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出,牧场上原有草

(10-5)× 20=100(份)或(15-5)×10=100(份)。

现在已经知道原有草100份,每天新长出草5份。当有25头牛时,其中的5头专吃新长出来的草,剩下的20头吃原有的草,吃完需100÷20=5(天)。

小学奥数牛吃草问题:例5

有一片牧草,每天以均匀的速度生长,现在派17人去割草,30天才能把草割完,如果派19人去割草,则24天就能割完。如果需要6天割完,需要派多少人去割草?

【解析】

17×30=510

19×24=456

510-456=54

54/(30-24)=9

每天生长量

510-30×9=240

原有草量240+6×9=294

294/6=49人

来源:52数学网

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