错抱的婴儿问题

      在某个医院,四个婴儿的身份标签被搞错了.两个婴儿的标签不错,其他两个婴儿的标签弄错了.发生这种错误的情况有多少种?
一种简单的计算方法是把所有可能的情况列成一个表格,其结果表明两个婴儿搞错的情况共有六种.现在假设标签搞乱了后,恰有三个是正确的,只有一个搞错了,问这个问题有多少种不同情况?你是否用列表的方法求解?还是凭灵机一动想出来的?

A B D C
A D C B
A C B D
D B C A
C B A D
B A C D

    这个问题许多人都茫然不解,其原因是他们作了下列错误的假设:在四个婴儿中,三个婴儿与其标签相符的情况有许多种.但是你如果用"鸽笼原理"思索一下,情况就一清二楚了.假设有四个鸽笼,一一标出应放物品的名称.若三样物品都放在了正确的位置中,那么第四样物品只有一处可放,自然该处即为那件物品应放的位置,正确的可能只有一种,即所有四样物品都放置恰当这一情况,而不可能有其他更多的情况.一般地,如果 n 件物品,其中已经有 n-1件放对了地方,那么剩下的一件也必定放置在正确的位置上了.
    有一个关于三样东西都标签错误的古典问题.一旦领悟到可以把情况的数目缩小为1,这个问题也就迎刃而解了.设在桌子上有三个盖着盖子的盒子,其中一个盒子内有两粒绿豆,第二个盒子内有两粒红豆,另一个盒子内有一粒绿豆和一粒红豆,三个盒子盖子上分别写着"红豆","红绿豆"和"绿豆",但是所有标签都标错了.你能从任意一个盒子内取出一粒豆子后,便能判断出所有盒子内都装着什么豆子吗?
    同上面的讨论一样,人们一般总是首先考虑有多少种不同的可能性,但是你如果能够洞悉底蕴,一眼就可以看出只可能有一种情况,从误标为"红绿豆"的盒子中取出一粒豆子,如果不是一粒绿豆就是一粒红豆,若是一粒绿豆,那么盒子里的另一粒也必定是一粒绿豆,那么两粒红豆必定在标着"绿豆"的盒子内,反之,若取出的是一粒红豆,那么另一粒必定也是红豆,两粒绿豆肯定放在标着"红豆"的盒子内,其他一盒内的情况就一清二楚了.可以看出,三个盒子全都误标的情况只可能有如上两种.从标着"红绿豆"的盒子内取出一粒便可以排除一种情况,仅剩下唯一正确的情况.
    有时,上述问题也会以稍微复杂的形式出现.在三个盒子中,从任意一个盒子内取出最少的豆子数进行试看,以此来判断三个盒子内各装有什么豆子.唯一的办法是从标着"红绿豆"的盒子中取出一粒豆子试看.也许你能提出一些更加复杂的问题,诸如每个盒子内不只两粒豆子,或者盒子不只三个等等.
    其他许多发人深省的难题都与上面的婴儿问题有关,同样也涉及到初等概率论.例如,假设婴儿的标签以随机的方式搞乱,那么四个标签全部正确的概率是多少?全部弄错的概率是多少?至少有一个正确的概率是多少?恰好有一个正确的概率是多少?至少有两个正确的概率是多少?恰好有两个正确的概率是多少?最多有两个正确的概率又是多少?诸如此类,不一而足.
    "至少一个"的问题,就一般的形式来说,属于古典趣味数学著作中的问题.这个问题通常如下所述:在一家旅店,由 n 个人在仔细检查自己的帽子.寄存部的粗心女郎没能使寄存牌和帽子做到一一对应,她随便地把寄存牌发了出去,问至少一人取回自己的帽子的概率是多少呢?结果发现,当 n 增大时,其概率迅速地趋近于极限 (1-1/e),或者说比1/2稍微好一点,其中 e 是著名的欧拉常数,等于2.71828182845904590...,在概率论问题中经常反复地出现.